Формула среднего значения.
Пусть z0- некоторая внутренняя точка односвязной области g. Возьмем окружность CR с центром в z0 и радиусом R, CR Ì g.
Тогда 
CR: x= z0+R eij ; dx = i Reij dj = i eij ds (ds – дифференциал дуги)
Принцип максимума модуля.Если f(z)Î C¥(
), тогда или |f(z)|ºconst или |f(z)| достигает своего максимального значения только на ¶g.
Доказательство.
Пусть максимум модуля достигается во внутренней точке 
: 
. Возьмем произвольную окружность с центром в этой точке и радиуса 
. Запишем формулу средних
Возьмем модуль
Из этого соотношения и непрерывности 
следует 
Действительно, если на контуре существует точка, где 
, тогда в силу непрерывности существует окрестность этой точки 
, где 
(
). Тогда
Если 
для окружности произвольного радиуса , тогда 
внутри некоторого круга с центром в точке 
и целиком лежащего в 
.
Выберем произвольную точку 
вне этого круга. Докажем, что и 
. Для этого проведем гладкую кривую, соединяющую точки 
и 
. Это можно сделать, т.к. - область.
Найдем точку 
пересечения окружности 
и этой кривой.
Повторим наши рассуждения, выбрав в качестве центра круга новую точку 
. Получим, что 
. Найдем точку пересечения окружности 
и кривой, соединяющей точки 
и 
. И т.д. пока не попадет внутрь очередного круга 
. Т.о. предположив, что 
, мы доказали, что 
в любой другой внутренней точке области.
§ 8. Интегралы, зависящие от параметра.