МОДЕЛЬ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ С ДРЕЙФОМ

 

Теперь допустим, что изменения в Y частично детерминированы и частично стохастические.

Модель случайного блуждания с дрейфом получается (преобразуется) из модели случайного блуждания добавлением константы :

(3)

Если дано начальное значение , общее решение для будет:

(4)

Здесь поведение определяется двумя нестационарными компонентами: линейным детерминированным трендом и стохастическим трендом .

Если мы возьмем математическое ожидание, среднее значение будет , а среднее значение равно (это следует из того, что )

Заметим, что первая разность ряда стационарна; переход к первой разности создает стационарную последовательность .

Ясно, что динамику временного ряда определяет детерминированный тренд. В очень больших выборках, асимптотическая теория предполагает, что это, во всяком случае, имеет место. Однако не следует думать, что всегда легко (распознать) различить модель случайного блуждания и модель случайного блуждания с дрейфом. В малых выборках, увеличение дисперсии или уменьшения абсолютного значения может перекрывать долгосрочные свойства последовательности. Заметим, что многие ряды – включая предложение денег и реальный ВНП (GNP) – ведут себя как модель случайного блуждания с дрейфом.

ФУНКЦИЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Заменим в (4) t на t+S:

Взяв условное математическое ожидание от , получим

По контрасту с чистой моделью случайного блуждания, прогнозирующая функция не есть категорическая прямая. Тот факт, что среднее изменение в всегда константа , отражается на прогнозе. К тому же взяв за основу, мы прогнозируем это детерминированное изменение на S шагов вперед. Итак, модель не содержит нерегулярную компоненту; случайное блуждание с дрейфом содержит только детерминированный тренд и стохастический тренд.

 

МОДЕЛЬ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ С ШУМОМ

 

В модели случайного блуждания с шумом есть сумма стохастического тренда и компоненты белого шума. Формально эта третья модель представляется как

(5)

(6)

где - процесс белого шума с дисперсией равной и и независимо распределены для всех t и S, т.е. .

Легко проверить, что последовательность представляет собой стохастический тренд. При известном начальном условии , решение для есть

Объединяя это выражение с белым шумом, имеем:

Теперь допустим, что в момент t=0 значение задается , так что решение для модели случайного блуждания с шумом может быть записано как

(7)

Ключевые свойства этой модели таковы:

1. Безусловная средняя последовательности константа:

и прогноз на S периодов:

Заметим, что следующие один за другим возмущения имеют постоянное влияние на . Следовательно, есть стохастический тренд .

2. Последовательность имеет компоненту чистого шума, и последовательность имеет только временный эффект с позиции влияния на . Текущая реализация воздействует только на , но не на последующие .

3. Дисперсия не постоянна:

Как и в других моделях со стохастическим трендом, дисперсия по мере увеличения t растет бесконечно. Наличие компоненты белого шума означает, что коэффициент корреляции между и меньше, чем для чистой модели случайного блуждания.

Т.к. и независимые последовательности белого шума,

и коэффициент корреляции

Сравнение с (2) - для модели чисто случайного блуждания – подтверждает, что автокорреляции для модели случайного блуждания с шумом всегда меньше для .

ФУНКЦИЯ ПРЕДСКАЗАНИЯ

Пусть известны выборочные значения

Взяв условное математическое ожидание, получаем

Таким образом, модель случайного блуждания с шумом содержит и тренд, и иррегулярную компоненту. Конечно, имеет временной эффект только на ; прогноз - текущее значение уменьшенное на . Постоянная компонента - стохастический тренд .