ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА. ФОРМУЛА ЯСИНСКОГО

Формула Эйлера, полученная более 200 лет назад, долгое время являлась предметом дискуссий. Споры длились около 70 лет. Одной из главных причин споров явилось то обстоятельство, что формула Эйлера для некоторых случаев не подтверждалась экспериментами. Объясняется это тем, что формула Эйлера выводилась в предположении, что при любом значении стержень работает в пределах упругих деформаций с использованием закона Гука.

Поэтому естественно, что ее нельзя применять в случаях, когда критические напряжения больше предела пропорциональности. Для установления предела применимости формулы Эйлера найдем

Здесь - радиус инерции.

Обозначим μl/i через λ. Величина λ называется гибкостью стержня.

Итак,

(15.9)

Приравнивая это напряжение пределу пропорциональности, получим предельное значение гибкости

Если λ>λ₀ то можно применять формулу Эйлера. Если же λ<λ₀, то формулой Эйлера пользоваться нельзя. Для стали Ст. 3 σ_пЦ ≈ 2000 кгс/см², Е = 2,1 -10⁶ кгс/см². Приняв π² =10, получим

Для стали Ст. 5 λ₀ = 90.

Для случая, когда стержень работает за пределами упругих деформаций, теоретические выводы сильно усложняются. Поэтому были проведены экспериментальные исследования. На основе опытных данных Ф. С. Ясинский предложил эмпирическую формулу для определения критических напряжений

σ_кр = а+ bλ,

где а и b — постоянные, зависящие от материала. Так, например, для стали Ст. 3

σ_кр = 3100 – 11.4λ;

для дерева

σ_кр = 293 – 1,94λ.

На рисунке 361 схематически показан полный график зависимости критических напряжений от гибкости для стали Ст. 3. Гипербола Эйлера, построенная по уравнению (15.9), при λ<λ₀ показана пунктиром, так как ею пользоваться на этом участке нельзя.

При гибкостях, равных от 0 до 40—50, стержень настолько короткий, что практически разрушается при потере прочности, поэтому критическое напряжение может быть принято равным пределу текучести (или пределу прочности). При гибкостях, лежащих в интервале 50 ≤λ≤λ₀, стержень теряет устойчивость, деформируясь в упруго-пластической области, поэтому график очерчен по прямой Ясинского.

На этом же рисунке нанесены точки, показывающие значения критических напряжений, полученных экспериментальным путем. Многочисленные экспериментальные исследования, проведенные в разных странах, показывают хорошее совпадение опытных данных с полным графиком критических напряжений.

Применение формул Эйлера и Ясинского позволяет решить задачу устойчивости сжатых стержней на всем интервале гибкостей, которые встречаются в строительной практике.

Помимо чисто экспериментальных результатов для случаев, когда стержень работает в упруго-пластической области, имеются теоретические исследования, в которых для критических сил предлагаются формулы, подобные формуле Эйлера. К числу таких исследований, прежде всего, необходимо отнести работу Ясинского, где предлагается применять формулу Эйлера для упруго-пластической области, но с использованием так называемого приведенного модуля

(15.10)

Идея применения приведенного модуля Еr заключается в том, что первоначально сжатый стержень при последующем изгибе начинает работать как стержень с различными модулями упругости при растяжении и сжатии.

Представим себе, что стержень центрально сжат и напряжения превышают предел упругости, а сила, действующая на стержень, близка к критической. При достижении ею критического значения стержень начинает изгибаться. От изгибающего момента в одной части поперечного сечения появятся дополнительные сжимающие напряжения, а в другой дополнительные напряжения будут растягивающими. Следовательно, в этой части поперечного сечения происходит разгрузка. Как известно, модуль упругости при разгрузке материала совпадает с обычным модулем упругости, а модуль упругости при дальнейшем догружении материала равен тангенсу угла наклона касательной к диаграмме сжатия (рисунок 362). Таким образом, если стержень центрально сжат с напряжениями, превышающими предел упругости, а затем начинает изгибаться, то при изгибе он работает как стержень с различными модулями упругости на растяжение и сжатие.

Рисунок 361 Рисунок 362

Задача об изгибе такого стержня решалась в § 69. Воспользуемся выражением приведенного модуля упругости из § 69. Так, например, для стержня с прямоугольным поперечным сечением приведенный модуль, или, как его иначе называют, модуль Ясинского, определяется следующей формулой:

где Е1 — модуль упругости при разгрузке, равный начальному модулю (например, для стали E1 = Е — 2,1 х 10⁶ кгс/см²);

Е2 = Еτ — модуль упругости, взятый для соответствующего осевого напряжения. Он равен тангенсу угла наклона касательной к кривой сжатия, поэтому часто называется касательным модулем.

Формула Ясинского (15.10) довольно хорошо совпадает с результатами, полученными экспериментальным путем.