ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ
Энергетическая теория основывается на предположении о том, что количество удельной потенциальной энергии деформации, накопленной к моменту наступления предельного напряженного состояния в материале, одинаково как при любом сложном напряженном состоянии, так и при простом растяжении.
При построении данной теории первоначально была предложена гипотеза, согласно которой за причину наступления предельного напряженного состояния принималась полная удельная потенциальная энергия, достигающая своего наибольшего значения.
Условие, отвечающее такой гипотезе, записывается в следующем виде:
U<U0 (12.11)
где U — полная удельная энергия, которую для общего случая объемного напряженного состояния определяют по известной формуле[**]
(а)
Uo — предельное значение энергии, определяемое из опыта на простое растяжение. Формула для ее вычисления легко получается, если в правой части (а) положить σ2 = σ3 = 0 и вместо σ1 подставить предельное напряжение при растяжении, т. е. σ0.
Таким образом,
(б)
С учетом (а) и (б) условие (12.11) в развернутом виде запишется так:
(в)
Указанная гипотеза, однако, не оправдалась на опыте и поэтому основанная на ней теория не нашла применения на практике.
Так, например, эта теория не подтверждается на опыте со всесторонним гидростатическим давлением, при котором, как уже говорилось выше, разрушение практически не наступает.
Таким образом, энергия, соответствующая изменению объема вследствие всестороннего сжатия, не может служить критерием прочности.
В предложенной новой энергетической теории за исходную была принята гипотеза, согласно которой за причину наступления предельного напряженного состояния принимается не вся удельная энергия, а лишь та ее часть, которая накапливается вследствие изменения формы кубика с ребром, равным единице.
Как видно, новая энергетическая теория связывается с развитием только пластических деформаций, которые, как известно, характеризуются изменением формы тела, но не сопровождаются изменением его объема.
Условие, которое должно соблюдаться при применении данной теории, выражается неравенством
Uф<Uф0 (12.12)
где Uф — расчетная величина энергии, связанной с изменением формы кубика при исследуемом напряженном состоянии;
Uфо — предельное значение той же энергии, получаемое из опыта на простое растяжение.
Для общего случая напряженного состояния непосредственное вычисление энергии, идущей на изменение формы, вызывает затруднение. Поэтому величину Uф находят, пользуясь выражением
U=Uv+Uф (12.13)
откуда
Uф =U - Uv (12.14)
Здесь U — полная энергия;
Uv — энергия, затрачиваемая на изменение объема.
В общем случае объемного напряженного состояния деформацию можно разделить на две: 1) деформацию, связанную только с изменением объема, и 2) деформацию, соответствующую только изменению формы.
Для этого представим заданное напряженное состояние (рисунок 301, а), определяемое главными напряжениями σ1, σ2 и σ3, в виде суммы двух напряженных состояний (рисунок 301, б, в). Пусть первое из них соответствует гидростатическому растяжению (сжатию), при котором по всем граням кубика действуют одинаковые средние напряжения
(г)
Так как в этом случае длины всех ребер кубика изменяются на одинаковую величину, то форма кубика не меняется, а меняется только его объем.
Напряжения второго напряженного состояния обозначим σ1/, σ2/ и σ3/. Они будут определяться равенствами:
(д)
Легко показать, что изменение объема при напряжениях σ1/, σ2/ и σ3/ равно нулю.
Действительно, подставив значения этих напряжений из равенств (д) в формулу объемной деформации (3.48) (см. § 32), с учетом (г) получим
(е)
Поэтому от напряжений σ1/, σ2/ и σ3/ будет происходить только изменение формы тела.
Рисунок 301
Для определения энергии Uv подставим в формулу (а) вместо σ1, σ2 и σ3 напряжения σср. Тогда
(ж)
Вводя в выражение (ж) значение σср из равенства (г), получим
(з)
Подставляя теперь U и Uv из формул (а) и (з) в (12.14), после несложных преобразований найдем
(12.15)
Формула (12.15) легко приводится к виду
(12.16)
Для случая простого растяжения, когда σ2 = σ3 = 0, согласно формуле (12.16) имеем
(12.17)
Условие (12.12) с учетом формул (12.16) и (12.17) запишется следующим образом:
(и)
где σ0 — предельное напряжение, найденное из опыта при простом растяжении.
В данной теории σ0 принимается равным пределу текучести σт.
Расчетная формула, отвечающая условию (и), запишется в виде
(12.18)
где R — расчетное сопротивление при растяжении.
При плоском напряженном состоянии, заменяя в формуле (12.18) соответствующие главные напряжения их выражениями через σх,σу и τух получим
(12.19)
Для частного случая при σу = 0, положив σz = σ и τzy = τ, имеем
(12.20)
Энергетическая теория, так же как и третья, хорошо подтверждается в опытах с пластичными материалами и широко применяется на практике. Для пластичных материалов указанные теории устанавливают критерии, определяющие условия возникновения пластических деформаций в материале. Поэтому неравенства (12.7) и (12.12), основанные на этих теориях, называют иногда условиями пластичности.
Применим энергетическую теорию для теоретического определения предела текучести при чистом сдвиге. В этом случае σ = 0, τ = τт и условие текучести выразится формулой
(12.21)
Отсюда
(12.22)
Аналогично по третьей теории получим τт = 0,5 σт.
При изучении чистого сдвига в гл. IV указывалось, что для многих материалов экспериментально устанавливаемая зависимость между τт и σт выражается соотношением (4.4). Это соотношение совпадает с (12.22). Таким образом, в случае чистого сдвига энергетическая теория несколько лучше согласуется с экспериментом, чем третья теория.