ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ МОРА

Во всех рассмотренных выше теориях в качестве гипотезы, устанавливающей причину наступления предельного напряженного состояния, принималась величина какого-либо одного фактора, например напряжения, удлинения, энергии.

В теории Мора в отличие от изложенных теорий не рассматриваются отдельные гипотезы, а на основе экспериментальных данных устанавливается определенная зависимость прочностных свойств материала от вида напряженного состояния. Для получения и обоснования такой зависимости используют предложенные Мором круги напряжений. Для объемного напряженного состояния, как известно, строят три круга (рисунок 302). Однако здесь на основе имеющихся опытов не учитывают влияние напряжений σ₂[††] и считают с некоторым приближением, что прочностные свойства материала связаны только с напряжениями σ₁ и σ₃. Поэтому из трех кругов рассматривают лишь один, а именно наибольший. Этот круг Мор назвал главным кругом.

В случае, когда напряжения σ₁ и σ₃ отвечают предельному напряженному состоянию материала, соответствующий главный круг принято называть также предельным.

В качестве примера на (рисунке 303) изображены три предельных круга для материала, который был испытан на растяжение, сжатие и кручение. При этом предельные напряжения при сжатии, которые будем обозначать σ_ос, оказались больше, чем при растяжении σ_ор, т. е. σ_ос > σ_ор.

Рисунок 302

Рисунок 303

Если провести огибающую для этих кругов, которую называют предельной огибающей, то в общем случае она будет кривой, которая пересечет ось σ в некоторой точке С.

Эта точка соответствует всестороннему растяжению с предельным напряжением, определяемым абсциссой точки. С (см. рисунок 303). Круг Мора в этом случае обращается в точку, ввиду того, что напряжения σ1, σ2 и σ3 равны между собой.

Таким образом, если имеется, несколько предельных кругов и их огибающая, то можно принять, что напряженное состояние, главный круг которого касается огибающей, будет также предельным.

На рисунке 303 изображено пунктиром семейство предельных кругов с различными сочетаниями главных напряжений. Как видно из рисунка, огибающая кругов определяет зависимость этих напряжений от вида напряженного состояния.

Получение действительной огибающей предельных кругов, построенных для всевозможных напряженных состояний, неосуществимо, так как для этого потребовалось бы опытным путем исследовать указанные напряженные состояния. Поэтому на практике действительную огибающую заменяют прямыми, касательными лишь к двум главным кругам, которые строят по данным опыта на растяжение и сжатие (рисунок 304). Эти прямые являются границами области прочностных состояний. Вместе с тем они устанавливают линейную зависимость между напряжениями σ1 и σ3 всякого напряженного состояния, главный круг которого касается этих прямых:

(12.23)

 

 

Рисунок 304

Зависимость (12.23) получается на основе простых геометрических соотношений, вытекающих из подобия треугольников ΔА₃С₃С₂ и ΔА₁С₁С₂ (рисунок 304). Рассматривая эти треугольники, можно записать

 

 

(а)

где

(б)

Подстановка значений (б) в выражение (а) приводит после несложных преобразований к выражению (12.23). Так как последнее должно быть справедливо и для случаев растяжения и сжатия, то можно определить коэффициенты а и b для произвольного сочетания σ1 и σ3 не прибегая к указанному преобразованию.

Так, при растяжении σ3 = 0, а σ1= σ_ор. Введя эти значения напряжений в выражение (12.23), найдем, что а = σ_ор.

При сжатии σ1 = 0 и σ3 = - σ_ос.

Следовательно, имеем

откуда

Таким образом, выражение (12.23) принимает следующий вид:

(в)

или

(г)

Соответствующая расчетная формула запишется так:

(12.24)

где R — расчетное сопротивление при растяжении.

Коэффициент К позволяет учитывать различные сопротивления материала растяжению и сжатию. Если эти сопротивления одинаковы по величине, то коэффициент К=1, а касательные к главным кругам становятся параллельными оси а (рисунок 305). Условие (12.24) в этом случае будет таким же, как и для третьей теории прочности. Следовательно, оно применимо как для хрупких, так и для пластичных материалов. При этом для хрупких материалов вместо σ_ор и σ_ос берутся соответствующие пределы прочности, а для пластичных — пределы текучести.

В заключение следует отметить, что теория Мора дает наиболее достоверные результаты для напряженных состояний, круги которых занимают положение в промежутке между главными кругами растяжения и сжатия.

Рисунок 305