Поскольку функция монотонна и непрерывна на , то по теореме об обратной функции она имеет непрерывную обратную функцию, определенную на с множеством значений .
Определение. Отображение, обратное к называется логарифмической функцией при основании и обозначается символом .
Определение. При основании логарифмическая функция или логарифм называется натуральным логарифмом и обозначается .
Из этого определения и свойств показательной функции вытекают следующие свойства логарифма
;