Производная сложной функции

Теорема. Пусть функция имеет в некоторой точке производную , а функция имеет в точке производную .

Тогда сложная функция в точке также имеет производную , или, короче .

Доказательство. Придадим произвольное приращение , пусть - соответствующее ему приращение функции : , а - приращение функции , вызванное : . Тогда

,

где - бесконечно малая при . Доопределим функцию в нуле, положив . Разделим последнее равенство на :

. (1)

Так как функция непрерывна в , то при будет, а значит, и (мы воспользовались теоремой о пределе сложной функции). Переходя в равенстве (1) к пределу при , получим .

Занесем выведенные нами формулы в таблицу: