Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде

Дифференциальное исчисление

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде

.

В этом случае линейная часть приращения называется дифференциалом и обозначается

.

Пример 1. , тогда , то есть

. (1)

Пример 2. . В этом случае (- фиксировано! Это константа!) . Очевидно, что при , поэтому мы заключаем, что , а с учетом формулы (1), .

Определение. Величина

называется производной функции в точке .

Пример 1. (- постоянная):

.

Пример 2. , .

Пример 3. , .

Задача. Найдите производную функции .

Пример 4. ,

,

частный случай - .

Пример 5. ,

.

Пример 6. :

.

 

Связь между производной и дифференциалом

Теорема. Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существует производная , и в этом случае .

Доказательство. Пусть дифференцируема в , тогда существует предел

,

то есть и, соответственно,

. (1)

Пусть теперь существует производная . Тогда ,

где - бесконечно малая при , но в этом случае

,

то есть дифференцируема в , причем .

Из (1) получаем , то есть отношение функций и постоянно и равно . По этой причине, следуя Лейбницу, производную часто обозначают символом наряду с предложенным впоследствии Лагранжем символом . В случаях, когда может возникнуть сомнение относительно переменной, по которой взята производная, эта переменная указывается в виде значка внизу: и т.д.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Запишем условие дифференцируемости функции в точке :

.

Очевидно, что при приращение , что означает непрерывность функции в точке.

Покажем, что обратное не всегда верно.

Пусть . Тогда в точке

, .

То есть в этой функция не имеет производной, а значит, и недифференцируема в ней.

Правила дифференцирования

Свойство 1. Пусть функция дифференцируема в , а - произвольная константа, тогда .

Доказательство. .

Свойство 2. Пусть функции и дифференцируемы в , тогда .

Доказательство. .

Свойство 3. Пусть функции и дифференцируемы в , тогда

.

Доказательство.

 

.

Свойство 4. Пусть функции и дифференцируемы в точке , причем в этой точке , тогда .

Доказательство.

 

.

Пример 6.

.

Задача. Докажите, что .

Задача. Докажите, что .

Задача. Докажите, что .

Задача. Докажите, что .

Задача. Докажите, что .

Задача. Докажите, что .

Производная обратной функции

Доказательство. Придадим значению произвольное приращение , пусть - соответствующее ему приращение функции . Из монотонности функции следует, что .… . Если , то в силу непрерывности функции и . Но тогда знаменатель правой части последнего равенства стремится к , то…

Производные обратных тригонометрических функций

, корень берем со знаком плюс, так как . 2. Рассмотрим теперь функцию . Она является обратной функцией для . Имеем

Производная сложной функции

Тогда сложная функция в точке также имеет производную , или, короче . Доказательство. Придадим произвольное приращение , пусть - соответствующее ему… ,

Таблица производных основных функций

 

 

Основные правила нахождения производной

; ; ; ; ; .

Если и , т.е. , то .

 

 

Правила дифференцирования

.