Функции

Пусть заданы два множества и .

Говорят, что имеется функция, определенная на со значениями в , если в силу некоторого закона каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент (обозначается ).

Множество называется областью определения функции, а множество всех значений функции, которые она принимает на элементах множества называется множеством значений :

.

Функция называется также отображением множества на множество . Мы будем употреблять следующие обозначения:

.

Существует несколько способов задания функции.

Аналитический способ, когда функция задается одним или несколькими аналитическими выражениями. Например, или

При табличном способе функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции. Например,

 

		2,5		3,5		4,5
		6,25		12,25		20,25

 

Функцию можно также представлять графиком.

Графиком функции называется подмножество прямого произведения , элементы которого имеют вид , то есть

.

Задание. Расскажите, как соотносится график функции с графиками функций , , , , , .

Также задавать функцию можно словесно. В последнем случае функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле:

Вспомним основные свойства функций.

Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если из следует (- возрастающая, - убывающая). Такие функции называются строго монотонными.

Неубывающей (невозрастающей) называется функция , если из следует .

Пример. Функция - неубывающая, а функция - невозрастающая.

Все эти функции называются монотонными.

Определение. Функция называется периодической с периодом , если для всех из области определения функции . Периодом называется наименьшее положительное значение .

Например, функция - периодическая с периодом .

Определение. Функция называется четной, если и нечетной, если . Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной называется функцией общего вида.

Определение. Функция называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу) на множестве , если множество ее значений ограничено (соответственно, ограничено сверху или снизу).

Запишем определения ограниченности функции с помощью кванторов:

ограниченность: .

ограниченность сверху: .

ограниченность снизу: .

Задача. Доказать, что функция - ограничена, функция - ограничена сверху, но не ограничена снизу, а функция - ограничена снизу, но не ограничена сверху.