Пусть функция осуществляет взаимно однозначное отображение множества (области определения) на множество (множество значений).
Обратной к функции называется функция с областью определения и множеством значений такая, что , если .
Видим, что так определенное отображение само является биективным, и обратное к нему отображение совпадает с . Отображения эти называются взаимно обратными, и справедливы тождества .
Пример. Рассмотрим функцию
(3)
с областью определения и множеством значений . Для любого уравнение (3) имеет единственное решение
. (4)
Уравнение же не имеет решений.
Следовательно, функция с областью определения и множеством значений является обратной к (3).
График функции будет симметричен графику относительно биссектрисы I-III координатных углов.
Задание. Постройте графики функций (3), (4) и функции .
Задание. Вспомните, как выглядят графики функций , , а также обратных тригонометрических функций.
Теорема. Если функция монотонно возрастает (убывает) на , то обратная к ней функция также будет монотонно возрастать (убывать) на .
Доказательство. 4 Из монотонности функции следует, что если , то , поэтому каждое свое значение функция принимает только один раз, то есть осуществляет взаимно однозначное соответствие между множествами и , и существует обратная функция .
Для определенности предположим, что возрастает на . Покажем, что возрастает на . Возьмем произвольные , пусть и пусть (то есть ). Если , то и , что неверно, поэтому . Следовательно, тоже возрастающая.
Случай убывания доказывается аналогично. 3