Обратная функция.

Пусть функция осуществляет взаимно однозначное отображение множества (области определения) на множество (множество значений).

Обратной к функции называется функция с областью определения и множеством значений такая, что , если .

Видим, что так определенное отображение само является биективным, и обратное к нему отображение совпадает с . Отображения эти называются взаимно обратными, и справедливы тождества .

Пример. Рассмотрим функцию

(3)

с областью определения и множеством значений . Для любого уравнение (3) имеет единственное решение

. (4)

Уравнение же не имеет решений.

Следовательно, функция с областью определения и множеством значений является обратной к (3).

График функции будет симметричен графику относительно биссектрисы I-III координатных углов.

Задание. Постройте графики функций (3), (4) и функции .

Задание. Вспомните, как выглядят графики функций , , а также обратных тригонометрических функций.

Теорема. Если функция монотонно возрастает (убывает) на , то обратная к ней функция также будет монотонно возрастать (убывать) на .

Доказательство. 4 Из монотонности функции следует, что если , то , поэтому каждое свое значение функция принимает только один раз, то есть осуществляет взаимно однозначное соответствие между множествами и , и существует обратная функция .

Для определенности предположим, что возрастает на . Покажем, что возрастает на . Возьмем произвольные , пусть и пусть (то есть ). Если , то и , что неверно, поэтому . Следовательно, тоже возрастающая.

Случай убывания доказывается аналогично. 3