Предел числовой последовательности

Определение. Точка называется пределом последовательности , если для любого положительного числа найдется такой номер , после которого все члены последовательности будут находиться в окрестности точки .

Если является пределом последовательности , то пишут .

Дадим другое, эквивалентное первому, определение предела последовательности.

Определение. Точка называется пределом последовательности , если вне любой окрестности точки находится не более конечного числа элементов последовательности.

Запишем определение предела последовательности при помощи кванторов:

,

или, записывая принадлежность окрестности с помощью неравенств, -

.

.

Если , то говорят, что последовательность стремится к и пишут при . Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, про нее говорят, что она сходится к . Последовательность, не имеющая конечного предела, называется расходящейся.

Определение. Последовательность, называется бесконечно большой, если

.

В отличие от расходящихся последовательностей, не имеющих предела, про бесконечно большие последовательности говорят, что они расходятся в бесконечность.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. .

Доказательство. 4, если . 3

Пример 2. .

Доказательство. 4, если . 3

Пример 3. Последовательность - расходящаяся.

Доказательство. 4Предположим, что , тогда для нашелся бы номер , после которого все члены последовательности находились бы в . Но тогда расстояние между любыми двумя элементами с номерами больше было бы меньше , что невозможно, так как . 3

Пример 4. .

Доказательство. 4, если . 3