Подпоследовательности

Определение. Часть последовательности , записанная в порядке возрастания номеров, называется ее подпоследовательностью и обозначается .

Например, последовательность является подпоследовательностью последовательности . Здесь .

Теорема. Если последовательность сходится к , то и любая ее подпоследовательность также имеет предел, равный .

Доказательство. 4Фиксируем произвольное . Вне окрестности лежит лишь конечное число членов . А так как множество элементов подпоследовательности является подмножеством множества элементов исходной последовательности, то вне находится не более конечного числа элементов и . То есть .3

Пример. Последовательность - расходящаяся.

Доказательство (второе). 4Если , то , а , что невозможно, если последовательность сходится.