Произведением двух последовательностей и будем называть последовательность с элементами .
Теорема. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. 4Пусть - бесконечно малая последовательность, а - ограниченная, то есть
.
Покажем, что последовательность является бесконечно малой, то есть
.
Фиксируем произвольное . Положим Так как последовательность бесконечно малая, то найдется такой номер , после которого , но тогда при будет и . 3
Следствие. Произведение бесконечно малых последовательностей – бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Бесконечно малая последовательность – сходящаяся и следовательно ограниченная. Далее к произведению применим предыдущую теорему.
Теорема. Сумма бесконечно малых последовательностей также является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство. 4Пусть и - бесконечно малые последовательности. Покажем, что последовательность также является бесконечно малой.
Фиксируем произвольное . Возьмем и найдем по нему такие номера и , что
Тогда для будут выполнены оба эти неравенства, и мы получим
. 3