Свойства бесконечно малых последовательностей

Произведением двух последовательностей и будем называть последовательность с элементами .

Теорема. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. 4Пусть - бесконечно малая последовательность, а - ограниченная, то есть

.

Покажем, что последовательность является бесконечно малой, то есть

.

Фиксируем произвольное . Положим Так как последовательность бесконечно малая, то найдется такой номер , после которого , но тогда при будет и . 3

Следствие. Произведение бесконечно малых последовательностей – бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Бесконечно малая последовательность – сходящаяся и следовательно ограниченная. Далее к произведению применим предыдущую теорему.

Теорема. Сумма бесконечно малых последовательностей также является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство. 4Пусть и - бесконечно малые последовательности. Покажем, что последовательность также является бесконечно малой.

Фиксируем произвольное . Возьмем и найдем по нему такие номера и , что

Тогда для будут выполнены оба эти неравенства, и мы получим

. 3