Теорема. Пусть и . Тогда последовательность также будет сходящейся, причем .
Доказательство. ►Из условия теоремы вытекает, что , а , где и - бесконечно малые последовательности. Поэтому
,
причем - бесконечно малая последовательность (как сумма бесконечно малых).◄
Теорема. Пусть и . Тогда последовательность также будет сходящейся, причем .
Доказательство. ►Из условия теоремы вытекает, что , а , где и - бесконечно малые последовательности. Поэтому
.
Последовательности бесконечно малые как произведение бесконечно малой на ограниченную и произведение бесконечно малых последовательностей. Тогда бесконечно малая как сумма бесконечно малых..◄
Для доказательства теоремы о пределе частного нам понадобится следующее свойство сходящихся последовательностей.
Лемма. Пусть , причем . Тогда последовательность ограничена.
Доказательство. ►Возьмем и найдем номер , после которого . Для всех номеров будет справедлива оценка
, ,
а значит, для этих номеров . Тогда для всех номеров будет справедливо
,
что означает ограниченность последовательности .◄
Теорема. Пусть и . Тогда последовательность также будет сходящейся, причем .
Доказательство. ►Из условия теоремы вытекает, что , а , где и - бесконечно малые последовательности. Поэтому
.
Последовательность , очевидно, бесконечно малая, а, следовательно, .◄
Пример. .