Теорема (о предельном переходе в неравенстве). Пусть и , и пусть , по крайней мере, начиная с некоторого номера . Тогда .
Доказательство. ►Рассмотрим последовательность . Эта последовательность сходящаяся , кроме того, при . Покажем, что .
Возьмем и выберем номер такой, что при
, то есть .
Но в таком случае, при будет (мы используем только верхнее неравенство) . Так как знак совпадает со знаком , это означает, что .◄
Теорема (о предельном переходе в двух неравенствах). Пусть и , и пусть , по крайней мере, начиная с некоторого номера .
Тогда последовательность сходится и .
Доказательство. ►Фиксируем произвольное . По условию теоремы, после некоторого номера , элементы последовательности будут находиться в , а, после номера , в той же окрестности будут находиться все члены последовательности . Тогда для номеров элемент последовательности , находясь между и , тоже попадет в .◄
Пример. , если .
Доказательство.► Запишем как . Воспользуемся формулой бинома Ньютона
.
То есть
а так как , то и .◄
Следствие. .
Доказательство. ►Фиксируем произвольное . С учетом предыдущего примера имеем . Тогда найдется такой номер , что для всех будет . Кроме того, очевидно, . То есть для всех получим .◄
Задача. Доказать, что .
Доказательство. ►Пусть . Очевидно, что , а, начиная с некоторого номера . Далее воспользуемся результатом предыдущего примера и теоремой о переходе к пределу в двух неравенствах.
Если , то . Поэтому в последнем примере требуется только условие .◄