Односторонние пределы и односторонняя непрерывность

Определение. Пусть функция определена в левой полуокрестности точки . Говорят, что она имеет предел при , стремящемся к слева и пишут

или

если для любого существует такое , что при .

Записанное с неравенствами это определение выглядит следующим образом:

.

Пример. (- произвольно).

Упражнение. По аналогии с предыдущим запишите определение , приведите пример.

Для конечных односторонних пределов в точке используются обозначения (предел слева) и (предел справа).

Упражнение. Дайте определение односторонних пределов:

, , , ,

приведите примеры.

Утверждение. Функция имеет предел при тогда и только тогда, когда существуют и равны оба односторонние предела:

.

Доказательство. 4 Пусть , тогда

(1)

Так как , то из (1) вытекает

,

,

то есть

.

Пусть теперь существуют и равны оба односторонних предела. Фиксируем произвольное . Из существования односторонних пределов следует, что

,

.

Возьмем . Очевидно, что . Но тогда из будет следовать .3

Пример. Функция

(от латинского signum - знак) определена на всей числовой оси. Покажем, что у нее нет предела при .

Доказательство. 4Очевидно, что , а , то есть левый и правый пределы не равны, то есть не существует. 3

Определение. Пусть функция определена на некотором полуинтервале. Она называется непрерывной в точке справа, если

.

Запишем это определение в терминах окрестностей

,

и в терминах неравенств

.

Аналогично определяется непрерывность в точке слева.

Упражнение. Сформулируйте это определение.

Упражнение. Докажите, что функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в слева и справа.

Определение. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна на интервале , а также непрерывна в точке справа, а в точке слева.