Определение. Пусть функция определена в левой полуокрестности точки . Говорят, что она имеет предел при , стремящемся к слева и пишут
или
если для любого существует такое , что при .
Записанное с неравенствами это определение выглядит следующим образом:
.
Пример. (- произвольно).
Упражнение. По аналогии с предыдущим запишите определение , приведите пример.
Для конечных односторонних пределов в точке используются обозначения (предел слева) и (предел справа).
Упражнение. Дайте определение односторонних пределов:
, , , ,
приведите примеры.
Утверждение. Функция имеет предел при тогда и только тогда, когда существуют и равны оба односторонние предела:
.
Доказательство. 4 Пусть , тогда
(1)
Так как , то из (1) вытекает
,
,
то есть
.
Пусть теперь существуют и равны оба односторонних предела. Фиксируем произвольное . Из существования односторонних пределов следует, что
,
.
Возьмем . Очевидно, что . Но тогда из будет следовать .3
Пример. Функция
(от латинского signum - знак) определена на всей числовой оси. Покажем, что у нее нет предела при .
Доказательство. 4Очевидно, что , а , то есть левый и правый пределы не равны, то есть не существует. 3
Определение. Пусть функция определена на некотором полуинтервале. Она называется непрерывной в точке справа, если
.
Запишем это определение в терминах окрестностей
,
и в терминах неравенств
.
Аналогично определяется непрерывность в точке слева.
Упражнение. Сформулируйте это определение.
Упражнение. Докажите, что функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в слева и справа.
Определение. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна на интервале , а также непрерывна в точке справа, а в точке слева.