Между понятием предела последовательности и понятием предела функции имеется тесная связь.
Теорема. Функция имеет предел при тогда и только тогда, когда для любой последовательности такой, что и .
Доказательство. 4Пусть и , . Тогда
. (1)
Из сходимости же последовательности к следует существование такого номера , что для всех будет , а так как , то
. (2)
Объединяя (1) и (2), получим
,
то есть
.
Пусть теперь для любой последовательности , сходящейся к и такой, что . Если не является пределом при , то найдется окрестность такая, что при любом найдется точка такая, что . Но это означает, что подпоследовательность не сходится к , хотя последовательность стремится к .3
Из доказанной теоремы следует, что данное ранее определение предела (по Коши) эквивалентно следующему определению (по Гейне):
Определение. Говорят, что функция имеет предел при , если для любой последовательности такой, что и .
Дадим также определение непрерывности по Гейне. Здесь можно отказаться от условия .
Определение. Функция непрерывна в точке , если для любой последовательности такой, что
Так же, как и в случае предела функции, определения непрерывности по Коши и по Гейне эквивалентны.
Упражнение. Докажите это утверждение.