Утверждение. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Функция непрерывна в точке , если . Если же функция дифференцируема в данной точке, то
.
Обратное неверно, а именно, существуют непрерывные в точке функции, недифференцируемые в этой точке.
Пример. Рассмотрим функцию в нуле. Очевидно, что
,
то есть функция непрерывна в нуле. Если бы она была в нуле еще и дифференцируемой, то было бы
,
то есть
.
Положим , и пусть , тогда
.
В таком случае
.
Последний предел, как нам известно, не существует, поскольку
.