Частные производные функции нескольких переменных.

Опять остановимся на случае действительнозначной функции двух переменных.

Определение. Частным приращением функции в точке , соответствующим приращению переменной называется величина

.

Аналогично определяется частное приращение

.

Определение. Частной производной функции по переменной в точке называется предел (если он существует)

.

Аналогично определяется частная производная по переменной :

.

Связь между непрерывностью, дифференцируемостью функции и существованием ее частных производных.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то у нее существуют обе частные производные , причем

.

Доказательство. Так как функциядифференцируема в точке , то

,

а если , то

,

поэтому

.

Аналогично получаем

.

Из существования частных производных непрерывность и дифференцируемость функции, вообще говоря, не вытекает, что мы продемонстрируем на следующем примере.

Пример. Рассмотрим функцию двух переменных

.

Эта функция, как нам известно, разрывна в нуле, а, следовательно, и не дифференцируема в нем. Тем не менее, имеем

.

Аналогично можно показать, что .

Справедлива, однако, следующая теорема.

Теорема. Пусть функция непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки . Тогда она будет дифференцируема в этой точке.

Доказательство. Представим полное приращение функции в виде

.

Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции лишь по одной переменной. Применяя к каждой из этих разностей формулу конечных приращений, получим

.

Из непрерывности частных производных в окрестности точки следует, что

,

,

где - бесконечно малые функции при . Используя полученные выражения, получим

.