Опять остановимся на случае действительнозначной функции двух переменных.
Определение. Частным приращением функции в точке , соответствующим приращению переменной называется величина
.
Аналогично определяется частное приращение
.
Определение. Частной производной функции по переменной в точке называется предел (если он существует)
.
Аналогично определяется частная производная по переменной :
.
Связь между непрерывностью, дифференцируемостью функции и существованием ее частных производных.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то у нее существуют обе частные производные , причем
.
Доказательство. Так как функциядифференцируема в точке , то
,
а если , то
,
поэтому
.
Аналогично получаем
.
Из существования частных производных непрерывность и дифференцируемость функции, вообще говоря, не вытекает, что мы продемонстрируем на следующем примере.
Пример. Рассмотрим функцию двух переменных
.
Эта функция, как нам известно, разрывна в нуле, а, следовательно, и не дифференцируема в нем. Тем не менее, имеем
.
Аналогично можно показать, что .
Справедлива, однако, следующая теорема.
Теорема. Пусть функция непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки . Тогда она будет дифференцируема в этой точке.
Доказательство. Представим полное приращение функции в виде
.
Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции лишь по одной переменной. Применяя к каждой из этих разностей формулу конечных приращений, получим
.
Из непрерывности частных производных в окрестности точки следует, что
,
,
где - бесконечно малые функции при . Используя полученные выражения, получим
.