Пусть в открытой области задана функция , непрерывная вместе со своими частными производными в , и пусть переменные являются непрерывно дифференцируемыми функциями от переменной на промежутке , причем при точка . Тогда мы можем рассмотреть сложную функцию , определенную на .
Покажем, что эта функция дифференцируема, и вычислим ее производную. Итак, фиксируем точку . Придадим переменной некоторое приращение , ему будут соответствовать приращения переменных . Поскольку частные производные функции непрерывны в окрестности этой точки, она дифференцируема в и соответствующее ее приращение представимо в виде
,
где - бесконечно малые функции при .
Разделив обе части последнего равенства на , получим
.
Так как непрерывны, то при будет и, соответственно, . Воспользовавшись также существованием производных , в пределе получим
.
Теперь рассмотрим случай, когда зависят от нескольких переменных, например, от двух:(случай большего количества переменным ничем принципиально от этого не отличается). Будем предполагать по аналогии с одномерным случаем, что имеют непрерывные частные производные по переменным и .
Вопрос существования частных производных и существенно не отличается от рассмотренного ранее, поскольку при вычислении частной производной одну из двух переменных мы фиксируем, и у нас остается функция, зависящая только от одной переменной. Для этого случая получим
,
аналогичная формула получается для производной по переменной .