Формула конечных приращений.

Утверждение. Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой области и имеет непрерывные частные производные внутри этой области. Пусть отрезок целиком лежит в области .

Тогда справедлива формула

.

Доказательство. Рассмотрим замену переменных .

Сложная функция непрерывна на отрезке , а внутри его имеет производную, равную

.

По формуле конечных приращений для функции одной переменной имеем

.

Подставив вместо и их выражения через функцию , получим нужную нам формулу.