Утверждение. Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой области и имеет непрерывные частные производные внутри этой области. Пусть отрезок целиком лежит в области .
Тогда справедлива формула
.
Доказательство. Рассмотрим замену переменных .
Сложная функция непрерывна на отрезке , а внутри его имеет производную, равную
.
По формуле конечных приращений для функции одной переменной имеем
.
Подставив вместо и их выражения через функцию , получим нужную нам формулу.