Условие существования интеграла.

Теорема. Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Необходимость. Предположим, что интеграл существует, то есть

, причем предел здесь берется по всем интегральным суммам, а, значит, и .

Достаточность. Пусть теперь . Тогда, перейдя в неравенствах (и здесь строятся по одному разбиению) к пределу, получим .

Обозначим колебание функции в ом частичном промежутке через , тогда , и условие существования определенного интеграла принимает вид:

.