Теорема. Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы .
Доказательство. Необходимость. Предположим, что интеграл существует, то есть
, причем предел здесь берется по всем интегральным суммам, а, значит, и .
Достаточность. Пусть теперь . Тогда, перейдя в неравенствах (и здесь строятся по одному разбиению) к пределу, получим .
Обозначим колебание функции в ом частичном промежутке через , тогда , и условие существования определенного интеграла принимает вид:
.