рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры
- Раздел Математика
- /
- Определение. Разбиением с отмеченными точками называется разбиение и набор точек
Реферат Курсовая Конспект
Определение. Разбиением с отмеченными точками называется разбиение и набор точек
Определение. Разбиением с отмеченными точками называется разбиение и набор точек - раздел Математика, Определенный Интеграл Определение. Разбиением ...
Определенный интеграл
Определение. Разбиением 
отрезка 
называется набор точек 
этого отрезка такой, что 
.
Отрезки 
называются отрезками разбиения.
Максимум 
из длин отрезков разбиения называется параметром разбиения.
Определение. Разбиением с отмеченными точками 
называется разбиение и набор точек 
.
Определение. Пусть функция 
определена на отрезке 
, а - разбиение с отмеченными точками этого отрезка. Сумма
,
где 
, называется интегральной суммой функции 
, соответствующей разбиению с отмеченными точками .
Определение. Говорят, что число 
является интегралом Римана от функции на отрезке , если для любого 
найдется такое 
, что для любого разбиения с отмеченными точками отрезка , параметр разбиения которого 
, имеет место соотношение
.
Интеграл от функции по отрезку обозначается символом 
, числа 
и 
называются верхним и нижним пределом интегрирования соответственно;
- подынтегральная функция, 
- подынтегральное выражение, 
- переменная интегрирования.
Таким образом,
.
Определение. Функция называется интегрируемой на отрезке , если для нее определен интеграл Римана.
Необходимое условие интегрируемости.
Утверждение. Если функция , определенная на отрезке , интегрируема на нем, то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство. 
Если неограниченна на , то при любом разбиении функция будет неограниченной по крайней мере на одном из отрезков 
. Это означает, что, выбирая соответствующим образом точку 
, можно сделать величину 
сколь угодно большой, но тогда и интегральную сумму 
можно сделать сколь угодно большой по модулю, что означает, что конечного предела у интегральных сумм нет.
Суммы Дарбу.
. Эти суммы называются, соответственно, нижней и верхней интегральными суммами,…Свойства сумм Дарбу.
Доказательство. Для доказательства этого факта достаточно ограничиться присоединением одной точки . Пусть она попала на й промежуток: . Обозначим через новую верхнюю сумму Дарбу, от прежней она отличается только слагаемыми, соответствующими промежутку .…Условие существования интеграла.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что интеграл существует, то есть , причем предел здесь берется по всем интегральным суммам, а, значит, и . Достаточность. Пусть теперь . Тогда, перейдя в неравенствах (и здесь строятся по одному разбиению) к пределу, получим…Классы интегрируемых функций.
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на нем.
Доказательство. Непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на нем (теорема Кантора). То есть по заданному найдется такое 
, что из 
следует 
. Но тогда, если , то 
и
,
откуда следует существование интеграла.
Справедливо также следующее утверждение.
Теорема. Если ограниченная на отрезке функция имеет на нем лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.
Пример. Функция 
непрерывна на отрезке 
, а значит интегрируема на нем. Интеграл 
будет пределом любой последовательности интегральных сумм с 
. Рассмотрим последовательность разбиений на равные отрезки: 
и выделим точки 
. Тогда
при 
. То есть 
.
– Конец работы –
Используемые теги: определение, Разбиением, отмеченными, точками, называется, разбиение, набор, точек0.109
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Определение. Разбиением с отмеченными точками называется разбиение и набор точек
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Реклама
Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.
© copyright 1999 - 2024 allRefs.net. Все права защищены. Страница сгенерирована за: 0.164 сек.
Новости и инфо для студентов