Длина кривой, заданной параметрически.

Определение. Длиной кривой называется точная верхняя граница для множества периметров вписанных в кривую ломаных: . Если это число конечно, то кривая называется спрямляемой.

Рассмотрим параметрически заданную гладкую кривую

.

Утверждение. Параметрически заданная на конечном промежутке гладкая кривая спрямляема.

Доказательство. Поскольку функции и непрерывны на отрезке, то они ограничены на нем, то есть

.

Рассмотрим ломаную с вершинами в точках . Периметр ломаной равен

.

Мы воспользовались формулой Лагранжа для конечных приращений и ограниченностью производных на отрезке .

Видим, что множество периметров вписанных ломаных ограничено, следовательно, кривая спрямляема. Аналогично оценке сверху, мы можем получить и оценку снизу для длины нашей кривой. Запишем:

.