Определение. Длиной кривой называется точная верхняя граница для множества периметров вписанных в кривую ломаных: . Если это число конечно, то кривая называется спрямляемой.
Рассмотрим параметрически заданную гладкую кривую
.
Утверждение. Параметрически заданная на конечном промежутке гладкая кривая спрямляема.
Доказательство. Поскольку функции и непрерывны на отрезке, то они ограничены на нем, то есть
.
Рассмотрим ломаную с вершинами в точках . Периметр ломаной равен
.
Мы воспользовались формулой Лагранжа для конечных приращений и ограниченностью производных на отрезке .
Видим, что множество периметров вписанных ломаных ограничено, следовательно, кривая спрямляема. Аналогично оценке сверху, мы можем получить и оценку снизу для длины нашей кривой. Запишем:
.