Введем функцию , равную длине переменной дуги от точки до .
Рассмотрим промежуток . Приращение равно длине дуги, заданной на отрезке . Запишем оценку для приращения длины на этом промежутке:
.
Здесь , соответственно, наибольшие и наименьшие значения модулей производных и на отрезке . Из непрерывности производных вытекает, что
.
То есть
.
Таким образом, длина переменной дуги – дифференцируемая функция, и по формуле Ньютона-Лейбница ее приращение на отрезке равно
. (1)
Пример 1. Найти длину одной арки циклоиды
.
Решение:
.