Пусть - неотрицательная интегрируемая функция, заданная на отрезке . Рассмотрим криволинейную трапецию , определенную неравенствами: . Верхние суммы Дарбу для являются площадями многоугольников, содержащих , а, соответственно, нижние – площадями многоугольников, целиком содержащихся в . Таким образом, получаем
. Из интегрируемости на отрезке следует, что , а, значит, фигура квадрируема и
.
Если функция отрицательна, то интеграл равен площади, взятой со знаком минус, если же меняет знак, то равен алгебраической сумме площадей.
Если криволинейная трапеция снизу и сверху ограничена кривыми
и ,
то площадь такой трапеции будет равна
.
Пример 4. Найти площадь области, ограниченной кривыми и .
Решение: .