Теорема(теорема сравнения). Пусть функции и определены на промежутке , и пусть для некоторого на промежутке справедливо неравенство . Тогда из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла , а из расходимости вытекает расходимость .
Доказательство. Из условия теоремы и соответствующих неравенств для определенного интеграла Римана при любом имеем
.
Из ограниченности функции на следует ограниченность а, значит, и сходимость . Сходимость интеграла следует из предыдущего утверждения. Вторая часть утверждения теоремы доказывается аналогично.
Теорема (предельный признак сравнения). Пусть положительные функции и определены на промежутке , и пусть существует предел
.
Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Из существования предела вытекает, что при некотором будет выполнено неравенство , то есть или . Далее применяем к функциям предыдущую теорему.