Определение. Говорят, что несобственный интеграл сходится абсолютно, если сходится интеграл .
Утверждение. Если интегралсходится абсолютно, то он сходится.
Доказательство. Достаточно проверить признак Коши для сходимости интеграла :
.
Определение. Если несобственный интеграл сходится, но не абсолютно, то говорят, что он сходится условно.
Задача. Доказать, что интегралы сходятся абсолютно.
Утверждение. Интегралы при сходятся условно.
Доказательство.
,
а поскольку , то интеграл сходится.
Покажем, что сходимость не абсолютная. Учитывая, что , имеем
.
Поскольку первый интеграл при расходится, а второй сходится при всех , исходный интеграл расходится.