В качестве примера применения метода ВКБ вычислим коэффициент прохождения частицы через барьер произвольной формы (а не прямоугольной). При этом считаются выполненными условия квазиклассичности, т.е. барьер - достаточно плавный. Это значит, помимо всего прочего, что он широкий, и что энергия много меньше высоты барьера. Идея: задаем волновую функцию в области I в виде суперпозиции падающей и отраженной волн, «протягиваем» ее по полученному рецепту в область II, а затем по несколько модифицированному рецепту в область III и требуем, чтобы там не было отраженной волны.
I. yI(x) = [sin (z +) +cos(z +)]
º yпад(x) + yотр(x).
z = p(y)dy, B0 = 1/2(b+ia), B1 = 1/2(b-ia)
II. yII(x) =
|z| = |p(y)dy|, ;
yII(x) =
III. yIII (x) = ,
Но в области III не должно быть отраженной волны (по постановке задачи - частицы падают из -µ, частично отражаются, а частично уходят на +µ). Поэтому
= 0 Þ = -i;
;
B0=1/2 (b+ia) = (1/4 e-2g +1)
B1 = 1/2 (b-ia) = (1/4 e-2g - 1).
Таким образом, все коэффициенты выражаются через a, который можно (но в данной задаче не нужно) найти из условия нормировки:
b =
.
Здесь следует выделить B0 (коэффициент при падающей волне) и (коэффициент при отраженной волне). Вводим коэффициенты прохождения и отражения
D = , R = ,
где токи выражаются через соответствующие волновые функции:
j = .
Подставляя найденные коэффициенты получим
D = ,
R =
Но здесь произошло некоторое превышение точности. В частности, D+R¹1, в противоречии с сохранением вероятности (куда делись частицы?). Однако нужно учесть, что
g = >>1.
Тогда равенство D+R=1 , будет выполняться с точностью до слагаемых типа exp(-2g) и exp(-4g), которые тем самым нужно отбросить. Их нужно отбросить и в выражении для D, для которого окончательно получаем
D = e-2g = exp.
Это весьма важная формула, и она часто применяется - например, при анализе альфа-распада ядер, механизм которого, как известно, туннельный.