КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Л Е К Ц И Я 12

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

 

В квантовой механике уравнение Шредингера для сколько-нибудь реалистических систем невозможно решить точно, в квадратурах. Поэтому здесь создано большое количество приближенных методов исследования. Мощнейший из них - теорию возмущений - мы рассмотрим позже. А сейчас обсудим квазиклассическое приближение, которое представляет и самостоятельный интерес, так как устанавливает связь квантовой механики и классической. Как мы увидим, квазиклассическое приближение (ККП) справедливо в случаях, когда де-бройлевские длины волн частиц малы по сравнению с характерными масштабами системы. Это аналогично тому, что волновая оптика в пределе малых длин волн переходит в геометрическую.

Рассматриваем стационарное одночастичное уравнение Шредингера в координатном представлении:

 

Ѳy (r) +V(r) y(r) = Ey(r)

 

и делаем в нем формальную подстановку (замену функции)

y(r) = A.

Учитывая, что

Ñy = (ÑS)A, Ѳy = (ѲS)A- (ÑS)²A,

 

получим для S следующее уравнение:

 

(ÑS)² - ѲS +V - E = 0.

 

Если отбросить второй член, то получим

 

(ÑS)² +V = E.

 

Но это есть не что иное, как классическое уравнение Гамильтона - Якоби для функции действия S₀ (укороченное). Приближение справедливо при

 

|ÑS|² >> |ѲS|.

 

Но в классике ÑS=p, а потому

 

½p²½>>½divp(x)½,

 

или, в одномерном случае

 

p² >> || Þ 1 >> || = || = || º ||,

 

где - де-бройлевская длина волны. Таким образом, переход возможен при условии

|| << 1,

 

т.е. когда длина волны де Бройля мало меняется на протяжении системы. Можно сказать и иначе. Учитывая, что

 

p(x) =,

получим

1 >> || = || Þ || << 1.

 

Приближение справедливо, когда сила невелика (потенциальная энергия достаточно плавная функция координат), а импульс не слишком мал. В частности, приближение не работает вблизи точек поворота E =V(x), где p = 0, а l = µ. Это будет важно в дальнейшем.

Последующее рассмотрение проводим для одномерного движения, когда уравнение для функции S(x), входящей в волновую функцию

y(x) = A,

имеет вид

iS^¢ - S^¢2 + 2m(E -V) = 0. (**)

 

Решение этого точного уравнения будем искать в виде ряда по :

 

S(x) = S₀(x) +S₁(x) +²S₂(x) + ....

 

Этот ряд сходится плохо, и отыскание поправок высшего порядка малости по затруднено. К тому же разложение разумно (т.е. может получать эффективные результаты) только при обсужденном выше условии. Ограничимся поправками, линейными по , т.е. ищем S в виде

 

S(x) @ S₀(x) + S₁(x) .

 

Подставляем в (**), отбрасывая члены с ²:

 

2m(E -V) - S₀^¢2 +(iS₀^¢¢ - 2S₀^¢S^¢₁) = 0.

 

Это должно быть тождеством, а потому должны равняться нулю отдельно члены без (с ⁰) и члены с (¹):

2m(E -V) - S₀^¢2 = 0, iS₀^¢¢ - 2S₀^¢S₁^¢ = 0.

 

Собственно говоря, именно это приближение и называется квазиклассическим. Оно же именуется методом ВКБ (Вентцеля - Крамерса - Бриллюэна).

Уравнение нулевого приближения есть уравнение Гамильтона - Якоби, из которого

 

S₀^¢ = ± = ±p,

где

p(x) =

 

классический импульс.

Итак, в нулевом приближении

S₀(x) = ± |p(x)|dx.

Здесь x_0­ - координата некоторой фиксированной точки на прямой. В качестве нее удобно выбирать классическую точку поворота, где

 

E =V(x₀).

 

Заметим, что в классически доступной области I импульс вещественен, а в классически недоступной области II он является чисто мнимым.

Уравнение для S₁ переписываем в виде

 

S₁^¢ = i/2(S₀^’’/S₀^’) º i/2(lgS_o^’)^’.

 

Интегрируя его, находим

 

S₁ = i/2lgS^’₀ = i/2(lgp)

 

(постоянная интегрирования несущественна, и ее опускаем). Таким образом, в приближении ВКБ

S(x) = ±pdx+iln,

и

y(x) = .

 

Обращаясь к картинке, запишем этот результат отдельно в областях I (x<x₀, классически доступная) где импульс вещественен, и II (x>x_0­, классически недоступная), где импульс мнимый:

I.y_I(x) = , p(y) = ,

или

y_I(x) = [a sin (z +g) +bcos(z +g¢)], z(x) º |p(y)dy|;

 

II. y_II(x) = , p(y) == ip(y),

или

y_II(x) = [Ae^-|z|+Be^|z|], |p(y)| =, |z| º |p(y)|dy.

 

В эти решения входят 6 неизвестных вещественных констант: a, b, g, g¢, A, B. Свяжем их между собой, сшивая решения для областей I и II.

Но здесь есть значительная трудность. В точке поворота p(x₀)=0, и квазиклассическое приближение здесь не работает (см. выше), т.е. выписанные функции не являются решениями задачи даже приближенно. Способ таков: вводим промежуточную область III, в которой решаем уравнение Шредингера точно, и именно это решение его концами сшиваем с соответствующими квазиклассическими решениями. Область III считаем весьма узкой, что позволяет аппроксимировать потенциал V(x) линейной функцией, разлагая его в ряд Тейлора:

V(x) @V(x₀) + (x - x₀)V¢(x) º E +(x-x₀), a = V¢(x).

 

Тогда точное (в смысле не квазиклассическое) уравнение Шредингера в области III будет записываться как

 

y¢¢(x) - a (x-x₀) y(x) = 0.

 

После замены переменной

 

h = a^1/3(x-x₀)

 

оно примет вид

- hy = 0.

 

Это есть уравнение Эйри, и оно имеет два независимых решения:

 

u₁(h) = , u₂(h) = .

 

Теперь будем сшивать решения по границам областей I - III и III - II.

 

1. При x>x₀ за счет ² в знаменателе a имеем h>>1, и для функций Эйри можно воспользоваться известными из справочников асимптотическими выражениями (кстати, они получаются методом перевала):

u₁ » , u₂ = .

 

2. При x<x₀ по тем же причинам h<<-1, и асимптотики таковы:

 

u₁ » , u₂ » .

 

Первую асимптотику будем сшивать с y_II(x), а вторую - с y_I(x).

(а) В области I x=x_0­ -e (e>0, e ® 0) подставляем в p(x) потенциал

 

V(x) = (x₀-x)

 

разлагаем в ряд Тейлора и вычисляем

 

z = p(y)dy @ 2/3 h^3/2.

 

(б) В области II x=x₀+e, и аналогичные выкладки дают

 

|z| @ 2/3 h^3/2.

 

Теперь, задавшись решением в I, сшиваем его с асимптотикой (2), находим асимптотику того же решения в (1) и сшиваем с решением II. Решая возникающие алгебраические уравнения, получим

 

A = a/2, B = b, g = g¢ = .

 

В итоге получим следующее квазиклассическое решение:

 

y(x) = ay₁(x) + by₂(x),

где

y₁(x) = ; y₂(x) =

 

При этом константы a и b находятся из общих граничных условий (скажем, ограниченность на бесконечности) и условий нормировки. Полученные решения справедливы, вообще говоря, только вне e- окрестности точки поворота. Но если на интервале 2e укладывается много длин волн де Бройля, то выражениями можно пользоваться во всей области.

 

КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ

В качестве примера применения метода ВКБ вычислим коэффициент прохождения частицы через барьер произвольной формы (а не прямоугольной). При этом…   I. yI(x) = [sin (z +) +cos(z +)]