Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции.
Интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.
Определение. Функция F(x) называется первообразнойдля функции f(х) на
промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка выпол-
няется равенство .
В простейших случаях первообразную можно найти сразу, зная формулы для производных. Например, очевидно, что если
Если функция f(х) имеет первообразную, то она имеет их бесчисленное множество. Например, функции соответствует множество первообразных: т.к. ,
Таким образом, справедлива лемма о первообразных: если функция F(х) – первообразная для функции f(х) на промежутке Х, то функция F(x) + C, где С – const, является первообразной для функции f(х) на том же промежутке . Однако, более глубоким является такой вопрос: существует ли у функции f(х) первообразные другого вида, чем F(х) + С. Оказывается не существует. Справедлива следующая теорема.
Теорема. Если F(x) и Ф(х) – две любые первообразные функции для f(х), то
они могут различаться лишь на постоянное слагаемое, т.е.