Теорема 1 (необходимые условия существования экстремума).

Если функция z = f(х, у) дифференцируема в точке М₀(х₀, у₀) и имеет

в ней экстремум, то частные производные функции в этой точке равны

нулю: .

 

Следствие 1.Функция z = f(х, у) может иметь экстремум только в

тех точках, где частные производные либо равны нулю, либо не су-

ществуют.

 

Определение. Точки, в которых частные производные функции

z = f(х, у) либо обращаются в нуль, либо не существуют,

называются критическими точками функции.

 

Итак, функция может иметь экстремум только в критических точках. Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума. Например, функция z = x² – y² имеет частные производные и точка О(0; 0) является для неё критической. Но эта точка не является точкой экстремума, т.к. в достаточно малой окрестности точки О(0; 0) найдутся точки, для которых z > 0 (z(x, 0) = x² > 0) и z < 0 (z(0, y) = -y² < 0).

 

Таким образом, для нахождения экстремумов функции необходимы дополнительные исследования функции в каждой критической точке.

Вопрос о достаточных условиях экстремума для функции двух и более переменных сложен. Поэтому следующую теорему о достаточных условиях экстремума функции двух переменных примем без доказательства.