Площадь криволинейной трапеции

 

Пусть дана непрерывная неотрицательная функция .

Определение. Плоская фигура, ограниченная сверху графиком функции

, снизу – отрезком оси Ох, слева и справа прямы-

ми , параллельными оси Оу, называется криволи-

нейной трапецией (рисунок 1).

 

 

Рисунок 1

Напомним, что при вычислении площади круга в школьном курсе математики поступают следующим образом: рассматривают вписанные и описанные правильные многоугольники с увеличивающимся числом сторон и вычисляют их площадь, а затем принимают за площадь круга предел площадей этих многоугольников. По сути этот метод, используемый еще со времен Архимеда и известный как «методом исчерпывания», применим и в данной ситуации.

Для нахождения площади криволинейной трапеции разобьем отрезок произвольным образом на n-частей точками :

(рисунок 2).

 

Рисунок 2

Обозначим длины частичных отрезков через :

При этом вся криволинейная трапеция разбивается на n «малых» трапеций с основаниями и площадями .

Тогда площадь всей криволинейной трапеции будет равна:

.

Выберем на каждом из частичных отрезков произвольным образом точку и вычислим значения функции в ней, т.е. .

Заменим площадь каждой «малой» криволинейной трапеции на площадь соответствующего прямоугольника с основанием, равным длине частичного отрезка, и высотой, равной значению функции в выбранной на этом отрезке точке. Тогда площадь i-го прямоугольника равна , а сумма всех таких произведений

(8) равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции: . (9)

С уменьшением всех величин точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры , когда n неограниченно возрастает или наибольшая длина частичных отрезков стремится к нулю:

, (10)

где .

Этот предел должен существовать и не зависить ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора промежуточных точек .