Свойство аддитивности определенного интеграла.

Если отрезок интегрирования разбить на две части , , то

.

Доказательство. При разбиении отрезка на части включим точку с в число точек деления (это можно сделать ввиду независимости предела интегральной суммы от способа разбиения отрезка на части) (рисунок 8).

Если , то интегральную сумму можно разбить на две суммы:

. Переходя в последнем равенстве к пределу при , имеем:

, а по определению определенного интеграла получаем, что , что и требовалось доказать.

 

Рисунок 8

Замечание. Свойство 3 справедливо при любом расположении точек а, b, с.

Геометрический смысл свойства:

площадь криволинейной трапеции с

основанием равна сумме пло-

щадей криволинейных трапеций с

основаниями и (рисунок 9).

с

Рисунок 9

4. Определенный интеграл от функции тождественно равной единице, равен длине отрезка интегрирования: .

Доказательство: .