интегрирования (I рода)
Пусть функция f(х) непрерывна на промежутке . Тогда для любого отрезка интеграл существует. При изменении b интеграл изменяется, т.е. он является непрерывной функцией b. Рассмотрим поведение этого интеграла при .
Определение. Если существует конечный предел , то его назы-
вают несобственным интеграломI рода от функции f(х) и
обозначают .
Таким образом, по определению . (1)
Если предел, стоящий в правой части равенства (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке :
. (2)
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой:
, (3)
где с– любая фиксированная точка оси Ох.
При этом интеграл называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла, стоящих в правой части равенства (3).
Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть (3), расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Пример 1. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: а); б) ; в).
Решение.
а)
.
Следовательно, интеграл сходится.
б)
. Следовательно, интеграл расходится.
в)
|
|
Следовательно, исходный интеграл расходится.