Определение 3: Для любой пары а и b вещественных чисел определены, и притом единственным образом, два вещественных числа a+b и а·b, называемые их суммой и произведением, обладающими следующими свойствами.
Каковы бы ни были числа a, b и с:
1) a+b=b+a (переместительное свойство) — коммутативность сложения.
2) a+(b+c)=(a+b)+c (сочетательное свойство) — ассоциативность сложения.
3) a·b=b·a (переместительное свойство) — коммутативность умножения.
4) a·(b·c)=(a·b)·c (сочетательное свойство) — ассоциативность умножения.
5) (a+b)·c=a·c+b·c (распределительное свойство) — дистрибутивность умножения относительно сложения.
6) Существует единственное число 0 такое, что a+0=a для любого числа а.
7) Для любого числа а существует такое число -а, что а+(-а)=0.
8) Существует единственное число 1¹0 такое, что для любого числа а имеет место а·1=а.
9) Для любого числа а¹0 существует такое число a-1, что а·a-1=1.
Замечание: Числа -а и а-1 (противоположное и обратное) единственны.