При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.
Определение 1:Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х; у). Соответствие ƒ, которое каждой паре чисел (х; у)ÎD сопоставляет одно и только одно число zÎR, называется функцией двух переменных, определённой на множестве D со значениями в R, и записывается в виде z=ƒ(х; у) или ƒ: D→R. При этом х и у называются независимыми переменными (аргументами), а z – зависимой переменной (функцией).
Определение 2:Множество D=D(f) называется областью определения (существования) функции. Множество значений, принимаемых z в области определения, называется областью значений (изменения) этой функции, обозначается Е=E(f).
Примером функции двух переменных может служить площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у: S=ху. Областью определения этой функции является множество {(х; у) | х>0, у>0}.
Функцию z=ƒ(х; у), где (х; у)ÎD можно понимать (рассматривать) как функцию точки М(х; у) координатной плоскости Оху. В частности, областью определения может быть вся плоскость или её часть, ограниченная некоторыми линиями.
Определение 3:Линию, ограничивающую область, называют границей области определения. Точки области, лежащие на границе, называются граничными. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними.
Определение 4:Область определения, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой или незамкнутой. Область определения с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается D. Примером замкнутой области является круг с окружностью.
Значение функции z=ƒ(х; у) в точке М0(х0; у0) обозначают z0=ƒ(х0; у0) или z0=ƒ(М0) и называют частным значением функции.
Функция двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Каждой точке М0(х0; у0) области D в системе координат Oxyz соответствует точка M(x0; y0; z0), где z0=ƒ(х0; у0) — аппликата точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию z=ƒ(х; у).
Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем пользоваться, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.