Частные производные первого порядка:
Пусть функция z=ƒ(х; у) определена в области D и (х0; у0)ÎD. Тогда при малых |Δх| определено её частное приращение по х: Δxz=f(x0+Δx, y0)–f(x0, y0).
Определение 1: Частной производной функции z=ƒ(х; у) по переменной х в точке (х0; у0) называют предел (если он существует) отношения частного приращения Δxz по х к приращению Δх при стремлении Δх к нулю.
Частная производная по х от функции z=ƒ(х; у) обозначается одним из символов:
Итак, по определению:
Частная производная по х от функции z=ƒ(х; у) в точке М0(х0; у0) обозначается:
Аналогично определяется частная производная по у и вводятся её обозначения:
Частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.
Напомним, что для функции одной переменной y=f(x) выражение – означает, что производная у по аргументу х равна отношению дифференциала переменной у к дифференциалу переменной х.
**Для функции двух переменных z=ƒ(х; у) выражение – означает, что частная производная z по аргументу х (z¢x) равна отношению частного дифференциала переменной z (dxz) к дифференциалу переменной х (dx).
**Выражение – нужно рассматривать как неразделимый символ частной производной, а не как отношение дифференциалов.
Частные производные второго порядка:
Частными производными второго порядка от функции z=ƒ(х; у) называются частные производные от частных производных первого порядка.
Определение 2: Частными производными второго порядка функции z=ƒ(х; у) по х и по у соответственно называются:
Определение 3: Смешанными частными производными второго порядка функции z=ƒ(х; у) соответственно называются:
Теорема (Шварца): Если в некоторой окрестности точки М0(х0; у0) функция z=ƒ(х; у) имеет смешанные частные производные и , причём эти производные непрерывны в точке М0(х0; у0), то они равны в этой точке:
Если последнее равенство выполняется, то говорят, что смешанные частные производные 2-го порядка функции z=ƒ(х; у) не зависят от порядка дифференцирования в точке М0.