Экстремумы функции
Дадим точные определения точкам максимума и минимума функции. Пусть функция f(x) определена на промежутке X и x0 Î X.
Говорят, что в точке x0 функция f(x) имеет максимум, если существует такая окрестность точки x0, что для любого x из этой окрестности f(x) < f(x0).
Точка x0 называется точкой минимума, если существует такая окрестность точки x0, что для любого x из этой окрестности f(x) > f(x0).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Замечание. Точки экстремума всегда являются внутренними точками промежутка, т.е. не могут быть его концом.
Теорема 1. (Необходимое условие экстремума)
Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 и некоторой ее окрестности и
x0 – точка экстремума, то 
(x0) = 0.
Доказательство. Пусть для определенности x0 – точка максимума, тогда найдется окрестность (x0 – d, x0 + d) точки x0 такая что, для любого xÎ(x0 – d, x0 + d)
f(x) < f(x0), т.е. f(x0) – наибольшее значение функции f(x) на интервале (x0 – d, x0 + d). Тогда по теореме Ферма (разд. 2.9) (x0) = 0. Теорема доказана.
Следствие. Если x0 – точка экстремума, то (x0) = 0 или (x0) не существует.
В качестве примера приведем функцию f(x) = |x| (рис. 2.11).
Очевидно, что x0 = 0 является точкой минимума, так как |0| < |x| для любого x ¹ 0. А в точке x0 = 0 производной f'(0) не существует.
Если f'(x0) = 0 или f'(x0) не существует, то точку x0 будем называть критической (или подозрительной на экстремум). Критическая точка может и не быть точкой экстремума.
Теорема 2. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть функция f (x) определена и непрерывна в точке x0 и некоторой ее окрестности, дифференцируема в этой окрестности, за исключением, может быть, точки x0, и x0 – критическая точка для функции f (x) (т.е. (x0) = 0 или (x0) не существует). Тогда: 1) если при x < x0 производная (x) > 0, а для x > x0: (x) < 0, то x0 – точка максимума; 2) если при x < x0: (x) < 0, а при x > x0: (x) > 0, то x0 – точка минимума.
Доказательство. Пусть для x < x0: (x) > 0, а для x > x0: (x) < 0, т.е. при переходе через точку x0 слева направо производная меняет знак с + на –. Тогда слева от x0 функция f(x) возрастает, а справа от x0 функция f(x) убывает, следовательно, x0 – точка максимума. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.
Теорема 3. (Второе достаточное условие экстремума).
Пусть функция f (x) дважды дифференцируема в точке x0 и некоторой ее окрестности и пусть (x0) = 0. Если 
(x0) > 0, то x0 – точка минимума. Если (x0) < 0, то x0 – точка максимума.
Доказательство. Пусть (x0) = 0 и (x0) > 0. Покажем, что x0 – точка минимума:
f''(x0) = 
= 
> 0.
Тогда в некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство
> 0. Отсюда, если Dx < 0, то (x0 + Dx) < 0, а если Dx > 0, то (x0 + Dx) > 0, т.е. слева от точки x0 функция f(x) убывает, а справа – возрастает, это означает, что
x0 – точка минимума. Аналогично доказывается вторая часть теоремы для (x0) < 0.
При исследовании функции на монотонность и экстремумы бывает удобно результаты заносить в таблицу. Как это делается, покажем в следующем примере.
Пример 1. Исследовать на монотонность и экстремумы функцию f(x) = x2e–x. Построить ее график.
Решение. Эта функция определена и непрерывна на всей числовой оси (–¥, ¥). Найдем производную: (x) = 2xe–x – x2e–x = xe–x(2 – x). Тогда (x) = 0 при x1 = 0 и
x2 = 2, где x1, x2 – критические точки. Эти точки разбивают всю числовую ось на три интервала: (–¥; 0), (0; 2), (2; +¥). Составим таблицу, в первой строке которой поместим указанные точки и интервалы, во второй строчке – сведения о производной (x) в точках и на интервалах, а в третьей – поведение данной функции f(x):
| x | 
| x1 = 0 | (0, 2) | x2 = 0 | 
|
| (x)
| (x) < 0
| (x) > 0
| (x) < 0
| ||
| f(x) | убывает | 
| возрастает | 
| убывает |
Определим знак (x) на каждом из интервалов: если xÎ(–¥, 0), то (x) < 0; если xÎ(0, 2), то (x)>0; если xÎ(2, +¥), то (x) < 0. Отсюда определяется поведение функции f(x): на первом и последнем интервалах f(x) убывает, а на втором – возрастает. Отсюда следует, что x1 = 0 является точкой минимума, yмин(0) = 0, а x2 = 2 – точка максимума, yмакс(2) =
» 0,54. Для построения графика заметим, что f (x) > 0 для всех x, отличных от нуля, и
x2e–x = 0,
x2e–x = ¥, f(–1) = e » 2,7.
График этой функции изображен на рис. 2.12.
Отметим, что дальнейшее исследование этой функции (см. следующий раздел) позволит уточнить ее график.
Пример 2. Исследовать на экстремум функцию f (x) = x + 
.
Решение. Область определения функции (-¥, 0)È(0, +¥), в каждом из этих интервалов функция непрерывна. Найдем f'(x) и f''`(x): f `(x) = 1 – 
, f''(x) = 
. Теперь найдем критические точки функции, для этого решим уравнение f'(x) = 0:
1 – = 0, отсюда x1 = –2, x2 = +2 – критические точки. Используем теорему 3 для исследования критических точек, для этого вычислим f''(x) в точках x1 и x2. Так как
f''(–2) = 
= –1< 0, то x1 = –2 является точкой максимума fмакс(–2) = –2 – 
= –4. Для x2: f''(2) = 
= 1 > 0, поэтому x2 = 2 – точка минимума, fмин(2) = 2 + = 4.
Таким образом, функция f(x) = x + имеет максимум при x1 = –2, f(–2) = –4 и имеет минимум при x2 = 2, f(2) = 4.
Известно, что если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения и своего наибольшего значения (см. гл. 1). Иногда требуется найти наименьшее или наибольшее значение такой функции.
Если на отрезке [a, b] есть точки минимума и максимума функции f(x) (рис. 2.13), то наименьшее значение функция будет принимать либо в одной из точек минимума, либо на конце отрезка [a, b]. Аналогично для наибольшего значения.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке:
· найти критические точки x1, x2, ..., xn функции f(x), принадлежащие отрезку 
;
· вычислить значения функции f (x) в критических точках и на концах отрезка;
· из этих значений выбрать самое большое и самое малое, эти числа и будут наибольшим и наименьшим значениями f(x) на отрезке [a, b].
Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции:
f(x) = x4 – 2x2 + 5 на отрезке [–2, 2].
Решение. Найдем критические точки для данной функции:
(x) = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1);
(x) = 0 при x1 = 0, x2 = –1, x3 = +1, все три критические точки принадлежат данному отрезку. Вычислим значения функции в точках –2, –1, 0, 1, 2:
f(–2) = (–2)4 – 2×(–2)2 + 5 = 16 – 8 + 5 = 13, f(–1) = 1 – 2 + 5 = 4,
f(0) = 5, f(1) = 4, f(2) =13.
Из найденных значений самое малое число 4, а самое большое число 13.
Итак, наименьшее значение функции равно 4, наибольшее значение равно 13.