Рассмотрим задание линии на плоскости, при котором переменные x, y являются функциями третьей переменной t (называемой параметром):
. (2.2)
Для каждого значения t из некоторого интервала соответствуют определенные значения x и y, а, следовательно, определенная точка M (x, y) плоскости. Когда t пробегает все значения из заданного интервала, то точка M (x, y) описывает некоторую линию L. Уравнения (2.2) называются параметрическими уравнениями линии L.
Если функция x = j(t) имеет обратную t = F(x), то подставляя это выражение в уравнение y = g(t), получим y = g(F(x)), которое задает y как функцию от x. В этом случае говорят, что уравнения (2.2) задают функцию y параметрически.
Пример 1. Пусть M (x, y) – произвольная точка окружности радиуса R и с центром в начале координат. Пусть t – угол между осью Ox и радиусом OM (см. рис. 2.3). Тогда x, y выражаются через t:
, 0 £ t £ 2p, (2.3)
Уравнения (2.3) являются параметрическими уравнениями окружности. Исключим из уравнений (2.3) параметр t. Для этого каждое из уравнений возведем в квадрат и сложим, получим: x2 + y2 = R2(cos2t + sin2t) или x2 + y2 = R2 – уравнение окружности в декартовой системе координат. Оно определяет две функции: y =и
y = –.
Каждая из этих функций задается параметрическими уравнениями (2.3), но для первой функции t Î [0, p], а для второй t Î [p, 2p].
Пример 2. Параметрические уравнения
, 0 £ t £ 2p (2.4)
задают эллипс с полуосями a, b (рис. 2.4). Исключая из уравнений параметр t, получим каноническое уравнение эллипса:
+ = 1.
OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),
y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – cost).
(2.5)
При изменении параметра t от 0 до 2p окружность поворачивается на один оборот, при этом точка M описывает одну арку циклоиды. Уравнения (2.5) задают y как функцию от x. Хотя функция x = a(t – sint) имеет обратную функцию, но она не выражается через элементарные функции, поэтому функция y = f(x) не выражается через элементарные функции.
Рассмотрим дифференцирование функции, заданной параметрически уравнениями (2.2). Функция x = j(t) на некотором интервале изменения t имеет обратную функцию t = F(x), тогда y = g(F(x)). Пусть x = j(t), y = g(t) имеют производные, причем
¹ 0. По правилу дифференцирования сложной функции . На основании правила дифференцирования обратной функции , поэтому:
. (2.6)
Полученная формула (2.6) позволяет находить производную для функции, заданной параметрически.
Пример 4. Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически:
0 £ t £ p. Найти .
Решение. = = –ctgt.
Пример 5. Найти угловой коэффициент k касательной к циклоиде в точке M0, соответствующей значению параметра t0 = .
Решение. Из уравнений циклоиды: = asint, = a(1 – cost), поэтому
= = .
Угловой коэффициент касательной в точке M0 равен значению при t0 = :
k = =====+1, k = +1.