Дифференциал функции

Пусть функция в точке x₀ имеет производную. По определению:
= (x₀), поэтому по свойствам предела (разд. 1.8) = f(x₀) + a, где a – бесконечно малая при Dx ® 0. Отсюда

Dy = (x₀)Dx + a×Dx. (2.7)

При Dx ® 0 второе слагаемое в равенстве (2.7) является бесконечно малой высшего порядка, по сравнению с Dx: = a = 0, поэтому Dy и (x₀)×Dx – эквивалентные, бесконечно малые (при (x₀) ¹ 0).

Таким образом, приращение функции Dy состоит из двух слагаемых, из которых первое (x₀)×Dx является главной частью приращения Dy, линейной относительно Dx (при (x₀) ¹ 0).

Дифференциалом функции f(x) в точке x₀ называется главная часть приращения функции и обозначается: dy или df (x₀). Следовательно,

df (x₀) = (x₀)×Dx. (2.8)

Пример 1. Найти дифференциал функции dy и приращение функции Dy для функции y = x² при:

1) произвольных x и Dx; 2) x₀ = 20, Dx = 0,1.