Решение

1) Dy = (x + Dx)² – x² = x² + 2xDx + (Dx)² – x² = 2xDx + (Dx)², dy = 2xDx.

2) Если x₀ = 20, Dx = 0,1, то Dy = 40×0,1 + (0,1)² = 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Запишем равенство (2.7) в виде:

Dy = dy + a×Dx. (2.9)

Приращение Dy отличается от дифференциала dy на бесконечно малую высшего порядка, по сравнению с Dx, поэтому в приближенных вычислениях пользуются приближенным равенством Dy » dy, если Dx достаточно мало.

Учитывая, что Dy = f(x₀ + Dx) – f(x₀), получаем приближенную формулу:

f(x₀ + Dx) » f(x₀) + dy. (2.10)

Пример 2. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим: f(x) = ; x₀ = 4, Dx = 0,1; тогда = f(x₀ + Dx). Используя формулу (2.10), получим:

= f(x₀ + Dx) » f(x₀) + dy, f(x₀) = =2, dy = f'(x₀)×Dx = ×0,1 = = 0,025.

Значит, » 2,025.

Рассмотрим геометрический смысл дифференциала df(x₀) (рис. 2.6).

Проведем к графику функции y = f(x) касательную в точке M₀(x₀, f(x₀)), пусть j – угол между касательной KM₀ и осью Ox, тогда f'(x₀) = tgj. Из DM₀NP:
PN = tgj×Dx = f'(x₀)×Dx = df(x₀). Но PN является приращением ординаты касательной при изменении x от x₀ до x₀ + Dx.

Следовательно, дифференциал функции f(x) в точке x₀ равен приращению ординаты касательной.

Найдем дифференциал функции
y = x. Так как (x)' = 1, то dx = 1×Dx = Dx. Будем считать, что дифференциал независимой переменной x равен ее приращению, т.е. dx = Dx.

Если x – произвольное число, то из равенства (2.8) получаем df(x) = (x)dx, откуда (x) = или (x) = .

Таким образом, производная для функции y = f(x) равна отношению ее дифференциала к дифференциалу аргумента.

Рассмотрим свойства дифференциала функции.

Если u(x), v(x) – дифференцируемые функции, то справедливы следующие формулы:

d(u + v) = du + dv; (2.11)

d(u×v) = u×dv + v×du; (2.12)

d= , (v ¹ 0). (2.13)

Для доказательства этих формул используются формулы производных для суммы, произведения и частного функции. Докажем, например, формулу (2.12):

d(u×v) = (u×v)'Dx = (u×v' + u'×v)Dx = u×v'Dx + u'Dx×v = u×dv + v×du.

Рассмотрим дифференциал сложной функции: y = f(x), x = j(t), т.е. y = f(j(t)).

Тогда dy = dt, но = , поэтому dy = dt. Учитывая,
что = dx, получаем dy = dx = (x)dx.

Таким образом, дифференциал сложной функции y = f(x), где x = j(t), имеет вид dy = (x)dx, такой же, как в том случае, когда x является независимой переменной. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.