Средствами векторной алгебры найти:
1) объем пирамиды с вершинами ;
2) длину ребра ;
3) площадь грани ;
4) угол между ребрами и .
Даны координаты вершины пирамиды (5, 1, -4); (1, 2, -1);
(3, 3, -4); (2, 2, 2).
Решение. Построим схематически данную пирамиду (рис.1).
Рис. 1
1. Рассмотрим векторы , и . Зная координаты точек, вычислим координаты этих векторов:
Объем пирамиды равен модулю одной шестой доли смешанного произведения векторов , , .
2. Найдем длину ребра :
3. Вычислим площадь грани .
Площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , совпадает с модулем векторного произведения , а поэтому площадь
4. Найдем угол между ребрами и . Угол между векторами и вычислим по формуле:
По таблицам .