Кафедра высшей математики и информатики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей математики и информатики

 

 

Л.А. Сараев, Ю.В. Хохрякова,

Е.А. Ильина, В.С. Глущенков

 

 

ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ - I

 

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Издательство «Самарский университет» Учебное пособие содержит варианты контрольных заданий и рекомендации к их… В данной работе приведены теоретические и практические вопросы для самостоятельной подготовки студентов по всему курсу…

Программа курса

Линейная алгебра и аналитическая геометрия».

Лекции

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Понятие о матрице. Определители 2-го и 3-го порядка, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Понятие об определителе любого порядка.

Вычисление определителей. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Камера.

Алгебра матриц. Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Ранг матрицы и его вычисление. Формулировка теоремы Кронекера-Капелли.

Трехмерное пространство. Векторы, линейные операции над векторами. Проекция вектора на вектор. Базис. Координаты вектора. Модуль и направляющие косинусы вектора.

Скалярное произведение векторов, его свойства, приложения. Векторное произведение векторов, его свойства.

Смешанное произведение векторов, его свойства, приложения.

Аксиоматическое определение линейного векторного пространства. Примеры. Линейная независимость системы векторов. Базис и размерность линейного пространства.

Аксиоматическое определение скалярного произведения. Евклидово пространство.

Векторное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Угол между плоскостями, параллельность и перпендикулярность плоскостей. Понятие гиперплоскости и выпуклого многогранника.

Векторное уравнение прямой, каноническое и параметрическое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Точка пересечения прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью, параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости.

Линейные операторы. Матрица линейного оператора в заданном базисе. Нулевой, тождественный, проективный и гомотетичный операторы.

Действия с операторами. Сопряженный оператор и сопряженная матрица. Самосопряженный оператор и симметричная матрица.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при преобразовании базиса.

Преобразование ортонормированного базиса в ортонормированный.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Канонические уравнения кривых второго порядка (эллипс, гипербола, парабола). Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

 

Практические занятия

Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Камера. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Алгебра матриц. Обратная матрица.

Тематика контрольных работ

Задача 1

  1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. …  

Задача 2

Найти общее, частное, базисное решения системы.   1.

Задача 3

  1. 2. 3. 4. 5. 6. …    

Задача 4

  1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. …  

Задача 5

  1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. …  

Задача 6

Средствами векторной алгебры найти: 1) объем пирамиды ; 2) длину ребра ;

Задача 7

  1.   (3, 4, 1); (2, -1, 0); (-2, 3, 1); (2, 3, 1); (-1, 1, 2); (3, 7, 4); (4, 7, 1) 2.   …    

Задача 8

  1. 2. 3. 4. 5. 6. …    

Задача 9

  1. 2. 3. 4. 5. 6. …    

Методические указания к выполнению расчетного задания

Задача 1

   

Задача 2

   

Задача 3

   

Задача 4

Найти ранг матрицы:

Решение:

Число линейно независимых строк матрицы равно четырем, следовательно, .

 

Задача 5

   

Задача 6

1) объем пирамиды с вершинами ; 2) длину ребра ; 3) площадь грани ;

Задача 7

1) ; 2) . Определить, какая из этих систем образует базис; разложить вектор по этому базису.

Задача 8

Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка

  и построить эту кривую.

Задача 9

  и схематически изобразить эту поверхность.

Литература

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч.1. – М., 1997.

2. Гусак А.А. Высшая математика. – Минск, 1998. – Т.1-2.

3. Кремер П.Ш. Высшая математика для экономистов. – М., 1999.

4. Щипачев В.С. Высшая математика. – М., 1998.

5. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. – М., 1999.

6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. – М. – Т.1-2.

7. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.