Даны две системы векторов:
1) ;
2) .
Определить, какая из этих систем образует базис; разложить вектор по этому базису.
Решение. Используем признак линейной независимости для векторов с числовыми координатами. Найдем определитель:
, следовательно, система векторов линейно независима и образует базис.
Вычислим определитель для второй системы:
Система линейно зависима.
Проведем разложение вектора по базису . Запишем разложение вектора в координатной форме:
Получаем систему линейных уравнений:
Систему можно решать любым методом. Решим методом последовательного исключения неизвестных:
Итак, координаты вектора в новом базисе будут , а разложение вектора по базису имеет вид .