Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка

 

 

и построить эту кривую.

 

Решение. Запишем матрицу квадратичной формы

 

.

 

Используем собственные нормированные ортогональные векторы:

 

и

для построения матрицы преобразования :

 

.

Чтобы сохранить взаимную ориентацию новых координатных осей, на матрицу налагают дополнительное условие (если , то достаточно поменять столбцы местами и сменить соответственно нумерацию у характеристических чисел и собственных векторов).

Квадратичная форма в новой системе координат имеет вид:

 

.

 

Преобразуем линейную функцию данного уравнения

 

 

В системе координат уравнение кривой имеет вид:

 

 

Совершаем параллельный перенос:

 

В результате уравнение кривой принимает вид: Это уравнение эллипса. В системе координат строим векторы и и определяем направление осей координат . Центр эллипса в системе в точке (рис.2).

 

 

Рис. 2