Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
и схематически изобразить эту поверхность.
Решение. В нашем примере матрица квадратичной формы имеет вид:
.
Характеристические числа матрицы определяются из уравнения:
которое приводится к виду
Отсюда
При получаем систему уравнений:
Найдем ранг этой системы:
Второе и третье уравнения являются линейно зависимыми; отбросим второе уравнение:
Собственный вектор, соответствующий характеристическому числу , . Нормируем вектор
Находим собственный вектор, соответствующий второму характеристическому числу :
Определим ранг системы:
Собственный вектор . Нормируем собственный вектор Находим собственный вектор, соответствующий характеристическому числу :
Определим ранг системы:
Собственный вектор . Нормируем собственный вектор .
Полученные собственные нормированные векторы попарно ортогональны:
Матрица преобразования координат имеет вид:
, .
Отсюда
Квадратичная форма в новой системе координат имеет вид . В результате уравнение поверхности будет . Это уравнение эллиптического цилиндра с образующими, параллельными оси . В системе координат строим собственные нормированные векторы . Определяем направление осей системы координат , выполняем построение поверхности (рис. 3).
Рис. 3