Задача 9

Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

 

и схематически изобразить эту поверхность.

 

Решение. В нашем примере матрица квадратичной формы имеет вид:

.

Характеристические числа матрицы определяются из уравнения:

 

 

которое приводится к виду

Отсюда

При получаем систему уравнений:

 

Найдем ранг этой системы:

 

 

Второе и третье уравнения являются линейно зависимыми; отбросим второе уравнение:

 

 

Собственный вектор, соответствующий характеристическому числу , . Нормируем вектор

Находим собственный вектор, соответствующий второму характеристическому числу :

 

 

Определим ранг системы:

 

 

Собственный вектор . Нормируем собственный вектор Находим собственный вектор, соответствующий характеристическому числу :

 

 

Определим ранг системы:

 

 

 

Собственный вектор . Нормируем собственный вектор .

Полученные собственные нормированные векторы попарно ортогональны:

Матрица преобразования координат имеет вид:

 

, .

 

 

Отсюда

 

Квадратичная форма в новой системе координат имеет вид . В результате уравнение поверхности будет . Это уравнение эллиптического цилиндра с образующими, параллельными оси . В системе координат строим собственные нормированные векторы . Определяем направление осей системы координат , выполняем построение поверхности (рис. 3).

 

 

Рис. 3