В дифференциальном исчислении ставилась задача: для данной функции найти ее производную. В интегральном исчислении ставится обратная задача: по производной функции найти саму функцию.
Пусть y = f(x) – некоторая заданная функция.
Определение. Всякая функция y=F(x), производная которой совпадает с функцией y = f(x) , называется первообразной для функции y = f(x). То есть если , то функция будет первообразной для функции f(x) (а f(x) будет производной от своей первообразной F(x)).
Пример1. Функция является первообразной для функции , так как .
Отметим, что функция - не единственная первообразная для функции . В самом деле, любая функция вида + С, где С – произвольная (неопределенная) константа, тоже будет первообразной для функции . Действительно, .
И вообще, если F(x) – первообразная для заданной функции f(x), то и все функции вида F(x)+C, где С - неопределенная константа, тоже будут первообразными для функции f(x). Действительно, если , то и .
Таким образом, найдя какую-либо первообразную F(x) для данной функции f(x), мы сразу можем записать для нее и множество других первообразных:
F(x) + C (С - неопределенная константа) (1)
Более того, мы сейчас докажем, что выражение (1) дает множество всех первообразных для функции f(x).
Действительно, пусть F(x) – какая-либо конкретная первообразная для функции f(x), а – любая другая первообразная для этой же функции f(x). Образуем новую функцию и найдем ее производную:
Как оказалось, эта функция имеет нулевую производную для любого . Но, как известно, производная функции характеризует скорость изменения функции. Значит, скорость изменения функции для любого х равна нулю. А это значит, что при изменении х функция не меняется (сохраняет постоянное значение).То есть , где С - некоторая постоянная. Таким образом, , откуда . То есть действительно любая первообразная для функции находится среди функций (1). Иначе говоря, множество функций (1) действительно представляет собой множество всех первообразных для функций . то множество Лейбниц обозначил специальным символом
(2)
и назвал неопределенным интегралом от функции . Здесь знак - знак неопределенного интеграла; - подынтегральная функция; - подынтегральное выражение; - переменная интегрирования.
Так как выражение (2) - это лишь другое обозначение выражения (1), то можно записать:
(3)
Таким образом, отыскивая (вычисляя) неопределенный интеграл , мы тем самым ищем все первообразные для подынтегральной функции . То есть ищем все функции, производные от которых равны . Эти функции (их бесчисленное множество) представляют собой сумму конкретной функции (конкретной первообразной для ) и неопределенной константы С, которой можно придать любое значение. Из-за наличия этой неопределенной константы в равенстве (3) и результат вычисления неопределенного интеграла оказывается неопределенным. Отсюда и термин: неопределенный интеграл.
Если неопределенный интеграл найден верно (то есть множество всех первообразных для функции найдено верно), то должно выполняться проверочное для (3) равенство:
(4)
Пример 2.
- верно, так как .
- верно, так как .
- неверно, так как .
Основные свойства неопределенных интегралов.
1. Свойство 1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
(5)
Доказательство. Используя (3) и (4), получим:
2. Свойство 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
(6)
Доказательство. Вспоминая формулу для нахождения дифференциала функции, получим:
3. Свойство 3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс неопределенная константа:
(7)
Доказательство:
.
4. Свойство 4. Нахождение функции по ее дифференциалу : если , то
. (8)
Доказательство. Если , то . А это значит, что функция является первообразной для функции . Но этих первообразных для функции имеется бесчисленное количество, и все они находятся посредством вычисления .
Примечание. Функция определяется по формуле (8) неоднозначно – она определяется с точностью до неопределенной константы С, которая появится после вычисления . Поэтому для однозначного определения функции по ее дифференциалунужно задать некоторое дополнительное условие для этой функции. Таким условием, в частности, может быть следующее условие: , где и А - заданные числа.
Пример 3. Найти функцию , если известно, что и что .
Решение. Используя (8), получаем:
.
Мы получили бесчисленное множество функций :
(С - неопределенная константа).
Константу С найдем из дополнительного условия :
.
Таким образом, получаем окончательно: .
5. Свойство 5. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
(k – константа, k) (9)
Доказательство. Рассмотрим правую часть равенства (9):
,
где - неопределенная константа (если k). Таким образом, равенство (9) принимает вид:
.
А это равенство верно, что подтверждает его проверка:
6. Свойство 6. Неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:
(10)
Доказательство. Вычисляя правую часть равенства (10), получаем:
…= =
=
где
.
Таким образом, доказываемое равенство (10) принимает вид:
= F(x) + C
И оно верно, так как
При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно использовать следующие правила:
1. Если , то
. (11)
Действительно, дифференцируя левую и правую части равенства (11), получим:
.
Производные от правой и левой частей равны, что и требовалось доказать.
2. Если , то
. (12)
3. Если , то
. (13)
Равенства (12) и (13) доказываются дифференцированием правой и левой частей равенств.
Пример 4. ( по формуле 11).
Пример 5. ( по формуле 13).