1.3.1. Теоретическая справка
Дифференциальное уравнение
(3.1)
называется линейным неоднородным уравнением с постоянными коэффициентами .
Если , то уравнение (3.1) становится однородным:
. (3.2)
Общее решение уравнения (3.1) определяется формулой
, (3.3)
где - общее решение соответствующего однородного уравнения (3.2), а - частное решение данного неоднородного уравнения.
В простейших случаях частное решение может быть найдено с помощью метода неопределенных коэффициентов. Если , (3.4)
где - многочлен степени , то частное решение ищут в виде
, (3.5)
где - многочлен той же степени с неопределенными коэффициентами, если не является корнем характеристического уравнения, соответствующего уравнению (3.2), и в виде
, (3.6)
если - корень указанного уравнения кратности
В частности, при и если не является корнем характеристического уравнения, то существует частное решение , если - корень характеристического уравнения кратности , то .
Если (3.7)
где и - многочлены, наибольшая степень которых , то частное решение ищут в виде
(3.8)
если не является корнем характеристического уравнения, и в виде
(3.9)
где и - многочлены степени , если - корень указанного уравнения кратности .
Если (3.10)
где , , - функции вида (3.4) и (3.7), то существует частное решение
(3.11)
определяемое указанными выше правилами.
В общем случае частное решение уравнения (3.1) может быть найдено с помощью метода вариации произвольных постоянных (метода Лагранжа). Если
общее решение однородного уравнения (3.2), то общее решение неоднородного уравнения (3.1) ищут в виде (3.12)
Функции находят из системы уравнений:
(3.13)
Пример 3.1. Решить уравнение .
Решение. Это линейное неоднородное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого есть функция вида (3.4), где т.е. .
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения .
Так как характеристическое уравнение имеет корни , , , то общее решение однородного уравнения определяется формулой
.
В соответствии с формулой (3.5) частное решение исходного уравнения ищем в виде
,
поскольку число не является корнем характеристического уравнения - многочлен второй степени.
Находим производные функции :
;
;
.
Подставляя выражения для и в данное уравнение и сокращая на , получим тождество
,
откуда
и ,
поэтому .
Общее решение данного уравнения имеет вид
.
Решение в MATLAB
>> dsolve('D3y+y=(e^2*t)*(t^2+t+1)')
Решение в Matlab
ans = -6*e^2+e^2*t+e^2*t^2+e^2*t^3+C1*exp(-t)+C2*exp(1/2*t)*sin(1/2*3^(1/2)*t)+C3*exp(1/2*t)*cos(1/2*3^(1/2)*t)
>> y0=[-0.1 -1 1];
>> tspan=[0 15];
>> [t,y]=ode45('ex31',tspan,y0);
>> plot(t,y(:,1))