Пусть даны два знакоположительных ряда: и , где при всех n.
Теорема 1: Если все члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда: , то если сходится второй ряд, то сходится и первый.
Теорема 2: Если все члены первого ряда не меньше соответствующих членов второго ряда: , то если расходится второй ряд, то расходится и первый.
Теорема 3. Если существует и конечен и отличен от нуля, то оба ряда в отношении сходимости ведут себя одинаково.
В качестве ряда сравнения как правило берут:
Сходящиеся ряды | Расходящиеся ряды |
, р>1 – обобщённый гармонический ряд | , 0<р<1 |
- простой гармонический ряд | |
- остаток гармонического ряда | |
- ряд геометрической прогрессии |
Признак Даламбера. Если у знакоположительного ряда существует и конечен , то если , ряд сходится, если - расходится.
ПРИ ПРИЗНАК НЕ ДАЁТ ОТВЕТА НА ВОПРОС О СХОДИМОСТИ РЯДА.
Признак используют если содержит или их вариации.
Радикальный признак Коши. Если у знакоположительного ряда существует и конечен, то если , ряд сходится, если - расходится.
Признак используют если целиком является n – ой степенью некоторого выражения.
Интегральный признак Коши. Если функция непрерывная, положительная, убывающая при и , то ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.
Признак используют если порождает функцию от которой можно без труда найти первообразную.